Fotbal, ținte și prejudecăți: Care-i legătura dintre șirul lui Fibonacci și Liverpool FC23 min read

Când îl găsești pe Fibonacci în Premier League, e un moment bun să fii curios, dar și sceptic.

În 2025, echipa de fotbal Liverpool FC a obținut al doilea titlu Premier League de la înființarea competiției. Cu această ocazie, „cormoranii” au contribuit la împlinirea unei legi matematice cunoscută din antichitate: șirul lui Fibonacci.

Leonardo din Pisa (cca. 1170-1240), mai cunoscut sub numele Fibonacci,// Abreviere alcătuită din filius Bonacci Pisano, fiul lui Bonacci din Pisa // a fost unul dintre cei mai influenți matematicieni ai epocii medievale. Activ la sfârșitul unei perioade de aproape un mileniu de stagnare științifică în Europa, Fibonacci a contribuit decisiv la reintroducerea matematicii avansate în spațiul occidental. Este cunoscut în special pentru celebrul model de creștere a populației de iepuri, care a dat naștere unei secvențe numerice emblematice: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… fiecare termen fiind suma celor două anterioare.

Șirul nu a fost însă inventat de Fibonacci și era cunoscut din antichitatea indiană// Apare, de exemplu, în jurul anului 200 î.e.n., în scrierile lui Pingala // De fapt, secvența are o tradiție mai veche în literatura indiană, unde se leagă de prozodie. Ramură de studiu al rimei și ritmului silabelor din poezii și alte creații lirice, prozodia poate conduce și la șiruri numerice. În scrierile lui Pingala și ale altor înțelepți ai Indiei antice, numărul de aranjări ale silabelor dintr-un vers cu lungime fixată urmează exact șirul cunoscut astăzi sub numele lui Fibonacci.

Totuși, moștenirea matematică a italianului înseamnă mult mai mult decât popularizarea acestei secvențe printr-o aplicație mai accesibilă decât prozodia indiană. Capodopera lui a fost lucrarea „Liber Abaci” („Cartea calculelor”), prin care introduce în Europa numerele în baza zece și așa-numitele cifre arabe, venite tot pe filieră indiană.

De secole, matematicienii, oamenii de știință, dar și artiștii găsesc „numerele lui Fibonacci“ în tot mai multe locuri. Li s-au dat interpretări geometrice, sub formă de spirală sau pătrate imbricate și au fost legate de „numărul (proporția) de aur“, ϕ, care ocupă un loc aparte în arhitectură, arte vizuale și în natură. Numărul este irațional, adică are o infinitate de zecimale care nu se repetă, motiv pentru care se poate doar aproxima, chiar dacă are o formulă precisă de calcul.

Legătura cu Fibonacci este pe cât de spectaculoasă, pe atât de simplă. Dacă împarți două numere Fibonacci consecutive (pe cel mai mare la cel mai mic), obții o aproximație din ce în ce mai bună pentru numărul de aur. De exemplu, 21/13 este aproximativ 1,615, dar dacă mergi și mai departe, la alți doi termeni Fibonacci consecutivi, găsești 6765/4181, care face aproximativ 1,618, care coincide perfect cu valoarea lui ϕ până la a treia zecimală.

Prin simplitatea și frumusețea lor, atât numerele lui Fibonacci, cât și proporția de aur au fost găsite în multe structuri naturale, precum ordinea de creștere a ramurilor pe trunchiurile copacilor, aranjarea petalelor unor flori sau curburile din cochiliile unor melci. Toate aceste exemple, împreună cu explicații matematice și povești fascinante apar în cartea fizicianului american de origine română Mario Livio, „Secțiunea de aur“.// Editura Humanitas, 2005, humanitas.ro //

Regulile matematice ale fotbalului

Din 1992, de când s-a înființat Premier League, câștigătoarele celor 33 de titluri au fost: Blackburn Rovers (1), Leicester City (1), Liverpool (2), Arsenal (3), Chelsea (5), Manchester City (8) și Manchester United (13). Prin contribuția lui Liverpool de acum câteva săptămâni, se văd, deci, primii șapte termeni din șirul Fibonacci.

Totuși, la cât de multe aplicații și studii au arătat prezența numerelor lui Fibonacci, apariția lor în liga engleză aproape că nu mai stârnește mirare. Sau poate chiar aici merită insistat.

În matematică, sunt multe șiruri cunoscute, formate după reguli dintre cele mai diverse și cu aplicații mai mult sau mai puțin restrânse. De exemplu, în liceu apar progresiile, în care numărul următor se obține din anteriorul prin adunare sau înmulțire cu o cantitate fixată. Șiruri ca 1, 5, 9, 13, 17, 21… sau 3, 15, 45, 225, 1125,… sunt exemple simple, cum se întâlnesc și în puzzle-uri sau teste de perspicacitate, unde trebuie ghicită regula și calculat termenul următor.

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences este o bază de date care, în mai 2025, conținea 383412 șiruri, acumulate de mai bine de opt decenii. Când ai niște numere și vrei să vezi dacă ele respectă sau nu vreo regulă, tot ce trebuie să faci este să le introduci în OEIS. Căutarea îți arată inclusiv rezultate aproximative, adică, de exemplu, că s-ar aplica o regulă numai dacă ai schimba sau elimina un număr din șir.

Motivat de Liverpool și Fibonacci, m-am uitat la cele mai mari campionate de fotbal din Europa, plus cel din România, dar, așa cum o să explic, alegerea nu influențează concluziile.

În Spania, în La Liga, numărul de ediții câștigate de fiecare echipă de la înființarea campionatului în 1929 arată așa:

• Deportivo la Coruña, Sevilla, Real Betis: 1
• Real Sociedad: 2
• Valencia: 6
• Athletic Bilbao: 8
• Atlético Madrid: 11
• Barcelona: 27
• Real Madrid: 36.

Șirul 1, 1, 1, 2, 6, 8, 11, 27, 36 este identificat de OEIS doar aproximativ,// Vezi pe oeis.org // adică ar trebui schimbate trei dintre numere ca să apară reguli. Chiar și atunci, niciuna dintre ele nu e la fel de spectaculoasă ca șirul lui Fibonacci. E vorba despre reguli complicate din teoria grafurilor sau combinatorică.

Încă o particularitate importantă: șirul lui Fibonacci este un exemplu rar cu numere care se repetă. Chiar și el, în afara primelor două elemente (1,1), nu mai are alte repetiții. Dar în fotbal, cel puțin, se întâmplă adesea ca unele echipe să câștige doar câte unul sau două trofee.

Dacă te uiți și la șirul din Spania fără repetiții, adică 1, 2, 6, 8, 11, 27, 36, tot nu am găsi vreo potrivire exactă. Conform OEIS, ar fi de schimbat două numere și abia apoi apar patru reguli din teoria numerelor sau combinatorică, legate de divizori și submulțimi.

În Germania, în Bundesliga, de la înființarea din 1963, campioanele arată așa:

• FC Nürnberg, Eintracht Braunschweig, VfL Wolfsburg, 1860 München, Bayer Leverkusen: 1
• FC Kaiserslautern, FC Köln: 2
• VfB Stuttgart, Hamburger SV: 3
• Werder Bremen: 4
• Borussia Mönchengladbach, Borussia Dortmund: 5
• Bayern München: 33

Șirul, cu tot cu repetiții,// Vezi pe oeis.org // nu dă vreun rezultat exact, dar dacă facem două modificări, găsim trei reguli care să-l genereze, legate de polinoame precum (1 + X)(1 + X16)(1 + X81)… În varianta fără repetiții,// Vezi pe oeis.org // lucrurile stau un pic mai bine, dar tot cu modificări, în primul rând pentru că șirul înseamnă 1, 2, 3, 4, 5, 33 și e ușor să vezi „intrusul“. Fără 33-ul final, ai cea mai simplă regulă, a șirului numerelor naturale.

Campionatul italian, Serie A, datează din 1898 și oferă următoarele rezultate:

• Sampdoria, Hellas Verona, Novese, Casale, Cagliari: 1
• Fiorentina, Lazio: 2
• Napoli, AS Roma: 3
• Pro Vercelli, Bologna, FC Torino: 7
• Genoa: 9
• AC Milano: 19
• Inter Milano: 20
• Juventus: 36

În varianta cu repetiții, șirul nu dă niciun rezultat în OEIS, nici măcar aproximativ. Iar fără repetiții, în cel mai bun caz, sunt trei șiruri pe care le găsești doar dacă schimbi două dintre numere și care se leagă din nou de combinatorică și submulțimi.

Franța, cu a sa Ligue 1, are aceste date:

• Montpellier, Auxerre, Roubaix-Tourcoing, Strasbourg, Olympique Lillois, RC Paris, Lens: 1
• Sète, Sochaux: 2
• Nice, Lille: 4
• Reims, Bordeaux: 6
• Lyon: 7
• Nantes, AS Monaco: 8
• Marseille: 9
• Saint-Étienne: 10
• Paris Saint-Germain: 13.

Secvența nu dă nici de data asta vreun rezultat notabil, iar fără repetiții, suntem la un termen distanță de niște rezultate greu de înțeles, cu numere în baza 7 sau 8.

În fine, să vedem și în România, analizată din 1909 și până în prezent.

• Româno-Americană București, Colțea Brașov, CSM Reșița, CA Oradea, Unirea Urziceni, Oțelul Galați, Astra Giurgiu, Viitorul Constanța, Farul Constanța: 1
• Olympia București, Colentina București, Prahova Ploiești, Unirea Tricolor București, Argeș Pitești: 2
• Rapid București: 3
• Ripensia Timișoara, Petrolul Ploiești, Universitatea Craiova: 4
• Chinezul Timișoara, UTA Arad: 6
• Venus București: 7
• CFR Cluj: 8
• Dinamo București: 18
• FCSB: 27.

Sunt multe echipe care au câștigat câte un titlu sau două, așa că secvența, în forma originală, nu dă niciun rezultat. Nici fără repetiții, situația nu e cu mult mai bună, dar, dacă FCSB ar fi câștigat doar 21 de titluri, am fi găsit un șir legat de polinoame ciclotomice — obiecte matematice complicate, dar importante, care leagă algebra de geometrie, aritmetică și numere complexe.

Cazul din Premier League este, așadar, aparte. Nicio altă ligă profesionistă din cele mai puternice ale Europei (plus România) nu mai conduce la un șir celebru. Rezultatele sunt aproximative, în cel mai bun caz, și nici vorbă de simplitatea lui Fibonacci.

Și totuși, trebuie să te întrebi dacă ai căutat suficient de mult și de atent. Poate într-o altă ligă, un alt indicator (golgheteri? cartonașe roșii?), poate într-un alt sport, pe un alt continent, trebuie să mai fie ceva.

De exemplu, Olimpiada Internațională de Matematică (OIM), începută chiar în România în 1959. De atunci, au existat câteva ocazii când toți membrii unei echipe naționale au câștigat doar medalii de aur:

• Bulgaria: 1
• Rusia/URSS: 2
• Coreea de Sud: 3
• SUA: 4
• China: 15.

Evrika! OEIS oferă douăzeci și cinci de rezultate,// Vezi pe oeis.org // spectaculoase și complicate deopotrivă: spirale dintr-o latice 2D, coloane din labirinturi, funcții care produc numere prime sau descompuneri în baza 3 fără zerouri.

Tipare sau prejudecăți?

Șirurile analizate ne pot induce concluzii pripite, chiar inconștient. Ele se numesc prejudecăți cognitive (cognitive biases), iar una care s-ar putea infiltra în analiza de aici este prejudecata confirmării (confirmation bias). Efectul ei este să te facă selectiv, atât în alegerea datelor studiate, cât și în formularea concluziilor, în așa fel încât să-ți valideze ideea cu care ai pornit.

De exemplu, în încercarea de a identifica reguli în distribuția titlurilor câștigate de echipele din marile ligi europene de fotbal, enunțurile propuse pot fi considerate reguli – chiar dacă artificiale, forțate sau doar aproximative. Se produce astfel o distorsionare a argumentelor și, uneori, chiar a seturilor de date, cum se întâmplă atunci când sunt ignorate repetițiile, doar pentru a susține concluzii dorite cu orice preț.

O abordare alternativă presupune acceptarea lipsei unor reguli evidente în șirurile analizate, urmată de întrebarea legitimă: a fost căutarea suficient de amplă? Fără un motiv clar de a limita analiza la anumite ligi sau exclusiv la fotbal, devine plauzibilă ipoteza că o cercetare mai extinsă ar fi putut conduce la descoperirea unor alte reguli notabile – poate chiar a unor apariții suplimentare ale secvenței lui Fibonacci.

În acest punct, intervine o altă eroare de raționament, cunoscută drept „eroarea țintașului din Texas“ (Texas sharpshooter fallacy): tragerea haotică spre un perete, urmată de identificarea unei zone cu impacturi aglomerate și declararea ei drept țintă. Altfel spus, analizarea unui volum mare de date, extragerea fragmentelor convenabile și formularea unei concluzii pe baza acestor selecții retroactive.

Eroarea diferă de metoda științifică experimentală, când un cercetător face un aranjament fără să urmărească un rezultat anume și decide, după ce vede deznodămintele experimentului repetat, că aceea este concluzia de tras. Diferența importantă este că trăgătorul texan ignoră datele care nu-i convin, în timp ce experimentalistul trage concluzia doar dacă marea majoritate a rezultatelor arată același lucru – și chiar și atunci, poate să aibă rezerve sau să spună că rezultatul are doar o probabilitate de realizare.

Selecția datelor convenabile și ignorarea celorlalte se mai întâlnește într-o altă greșeală de metodologie și comunicare, atât în științe, cât și în general: trunchierea. La fel cum un fotoreporter poate, prin cropuri bine aplicate, să spună povești diferite cu aceeași imagine, așa și datele numerice și experimentale pot conduce la concluzii diferite.

De exemplu, pe baza numerelor din competițiile pe care le-am prezentat, se poate trunchia setul referitor la OIM, făcând să dispară datele Chinei și să spui că s-a întâmplat foarte rar în istorie ca o întreagă echipă să câștige doar aur (pentru că rămân doar numerele foarte mici).

În toate aceste situații, intervin judecata profesională și onestitatea cercetătorului sau a comunicatorului. Oricine lucrează cu date științifice și comunicarea lor, către publicul larg sau către specialiști, trebuie să cunoască metodologia specifică și să știe să se ferească de prejudecăți și capcane care distorsionează realitatea.

În același timp, deși pare contraintuitiv, adevărul e că nu toate regulile sunt la fel. Uită-te numai la două seturi identificate anterior: șirul lui Fibonacci, pe de o parte, și șirul aurului la OIM. Primul e ușor de înțeles și întâlnit în multe locuri. În al doilea caz, orice regulă ai alege din cele douăzeci și cinci găsite de OEIS, cu greu poți justifica importanța ei aparte, generală.

Totuși, dinamica rezultatelor alimentează speranța unei noi încercări anul viitor, când toate numerele vor fi altele. Pentru că matematica poate mereu să producă surprize.