Matematicianul Nicușor Dan aduce teoria lui Arakelov la Cotroceni26 min read

Recentele alegeri prezidențiale din România au fost marcate de o mulțime de glume și trimiteri matematice, mai ales în legătură cu candidatul independent Nicușor Dan. Curiozitatea mea de matematician m-a împins să arunc o privire asupra experienței sale în acest domeniu.

Weekendul trecut, românii au mers la urne și au dat votul decisiv pentru următorul președinte. Candidatul independent Nicușor Dan a obținut o victorie categorică: 54% din voturi față de 46%, cât a reușit să strângă adversarul său, George Simion. 

Un lucru neobișnuit pe scena politică românească a fost apariția frecventă a matematicii în campania electorală. Candidatul Nicușor Dan, dublu medaliat cu aur la Olimpiada Internațională de Matematică, a fost provocat să rezolve probleme de aritmetică și de geometrie, a fost numit „tocilar“ și a apărut în clipuri alături de foștii săi colegi matematicieni, care și-au arătat susținerea.

Internauții au răspuns în același stil. Facebook-ul a fost inundat cu mesaje ca „radical din 121“ la primul tur al alegerilor, când Dan s-a aflat pe buletinul de vot la poziția a unsprezecea. Regele romilor, Dorin Cioabă, a apărut pe TikTok scriind fracții pe o tablă în semn de susținere, iar glume cu teorema lui Pitagora au devenit virale peste noapte.

Și totuși, în campanie s-a vorbit prea puțin despre matematicianul Nicușor Dan și despre contribuțiile sale în domeniul matematicii, aflate la intersecția dintre aritmetică și geometrie.

Matematicianul și publicul

Cariera de matematician a lui Nicușor Dan a fost un subiect de interes în multe apariții publice ale sale, indiferent că era vorba despre activismul său civic din Capitală sau de implicarea sa politică, prin partidul USR și, ulterior, independent. Presa amintește adesea de cele două medalii de aur pe care Dan le-a obținut la Olimpiada Internațională de Matematică din 1987 (Havana, Cuba) și 1988 (Sydney și Canberra, Australia), ocazii cu care a rezolvat perfect toate cele șase probleme. Scorul maxim la cele două ediții consecutive i-a adus locul 1 din 237, respectiv 268 participanți.

De altfel, la Olimpiada din 1987, echipa națională a României s-a clasat prima între toate țările participante. Cinci dintre cei șase membri ai lotului (Nicușor Dan, Liviu Suciu, Adrian Vasiu, Mugurel Barcău și Andrei Moroianu) au obținut medalii de aur cu scoruri perfecte, iar al șaselea, Bogdan Andreiu, a obținut argintul, cu 40/42 puncte.

Performanțelor olimpice ale lui Nicușor Dan se adaugă media 9,87 la bacalaureatul din anul 1988. El a obținut note de 10 la matematică, fizică și proba practică și 9,50 la limba și literatura română, conform diplomei pe care a arătat-o într-un interviu televizat din recenta campanie. Apoi, studiile universitare le-a finalizat prin teza de doctorat, susținută în 1998 la Université Sorbonne Paris Nord din Franța, sub coordonarea lui Christophe Soulé.

La revenirea în România, Dan s-a preocupat de educația matematică de înalt nivel și, alături de mai mulți cercetători ai Institutului de Matematică al Academiei Române (IMAR), a fondat în 2000 Școala Normală Superioară București,// Mai multe detalii pe imar.ro // după model francez. În colaborare cu IMAR, instituția a organizat două cicluri de studiu postuniversitar acreditat în domeniul matematică, în cadrul cărora se abordează capitole avansate, predate de profesori și cercetători români din toată lumea.

În perioada de activism și implicare politică, cu acțiuni începute încă din 1998, când a fondat Asociația „Tinerii pentru Acțiune Civică“ și cel puțin până când a devenit deputat USR în 2016, Nicușor Dan nu s-a îndepărtat de cariera matematică. Cel mai recent, în 2015, el a ținut o conferință la IMAR și a publicat un articol// „Teoria numerelor azi. O privire de ansamblu”, imar.ro // de tip survey care prezintă rezultate de ansamblu din dezvoltarea teoriei numerelor, cu accent asupra ultimei jumătăți de secol. Se găsesc acolo mare parte din cercetările care l-au influențat și care au contribuit la modernizarea aritmeticii, în special cu metode geometrice.

Nicușor Dan a fost provocat de mai multe ori să rezolve probleme. Un exemplu recent, din septembrie 2024, a fost următoarea problemă, propusă de profesoara de matematică Daniela Vasile: Găsește cel mai mic număr natural cu proprietatea că, dacă ultima cifră se mută la început, numărul devine de două ori mai mare.

Conform profesoarei, problema ar fi atât de simplă, încât poate fi înțeleasă și rezolvată la nivelul clasei a patra. Dar mulți profesori și matematicieni au contrazis-o ulterior, iar una dintre vocile din discuție a fost a lui Nicușor Dan,// „Cum se rezolvă problema de matematică de clasa a IV-a care îi încuie pe toți. L-a încurcat și pe Nicușor Dan”, digi24.ro // atunci proaspăt reales în funcția de primar al Capitalei. Matematicianul Dan a revenit cu explicații și a arătat într-un clip pe YouTube// Vezi pe youtube.com // mai multe metode de rezolvare. Una dintre concluzii a fost că problema se potrivește mai degrabă olimpiadelor și este departe de o lecție standard din ciclul primar.// Soluția este un număr cu optsprezece cifre, 105263157894736842. Dacă 2-ul final se mută la început, obținem dublul numărului inițial. //

În martie 2025, candidatul la alegerile prezidențiale Nicușor Dan a primit o provocare adresată direct de gazetarul Cristian Tudor Popescu, în timpul unei emisiuni de la Radio Europa FM: o problemă de geometrie. După câteva zile, Dan a prezentat două soluții,// Vezi pe youtube.com // pe care le-a distribuit pe YouTube și pe rețele de socializare.

Geometrie (și) aritmetică

Încă din perioada participării la Olimpiada Internațională, Nicușor Dan s-a ocupat de probleme dificile de aritmetică și geometrie, două dintre cele mai vechi ramuri ale matematicii.// Problemele și soluțiile de la IMO 1987 le găsești pe artofproblemsolving.com // De altfel, cercetările sale din perioada doctoratului se înscriu chiar în aceste domenii.

Aritmetica – sau teoria numerelor – și geometria nu au avut multe lucruri în comun vreme de milenii. Ambele discipline au fost cunoscute, practicate și dezvoltate substanțial de greci, prin Euclid și Diofant – ambii din Alexandria –, alături de Arhimede din Siracuza, Thales din Milet, Pitagora din Samos și mulți alții. Dar vreme de multe secole, singura legătură dintre geometrie și aritmetică a fost prin măsurători sau calcule de lungimi, perimetre, arii sau volume.

Când matematicienii au introdus metode de vizualizare a numerelor reale ca puncte pe axă și coordonate în plan și spațiu – prin René Descartes și François Viète, în secolele XVI-XVII –, a părut că numerele de care se ocupă aritmeticienii nu sunt chiar utile. Motivul e ușor de înțeles: la origini, aritmetica lucrează predominant cu numere naturale: 0, 1, 2, 3,…. În termeni tehnici, ele au o structură discretă, adică se prezintă ca puncte individuale, fără valori intermediare: între 0 și 1 sau 1 și 2 nu se află niciun număr natural. 

De aceea, orice reprezentare geometrică a lor ar însemna puncte izolate, care nu se pot uni cu linii sau nu pot descrie un plan ori altă figură, decât dacă mulțimea este extinsă către numere reale. Acestea din urmă au o structură continuă, adică între orice două numere reale se află o infinitate de alte numere, tot reale. Așa că două puncte reale se pot uni cu o linie, fiindcă și punctele intermediare de pe linie reprezintă tot numere reale.

La finalul secolului XVIII, însă, apare o schimbare substanțială, prin cel supranumit „prințul matematicii“, Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Una dintre contribuțiile importante a lui Gauss a fost să arate că se poate studia aritmetica și cu altfel de numere în afară de cele naturale sau întregi. El face chiar saltul către numere controversate prin noutatea lor de la acea vreme, numerele complexe. Gauss folosește o mulțime specială, numită astăzi întregii lui Gauss, care combină numerele întregi – cele naturale, împreună cu negativele lor – cu cele imaginare sau complexe. Ajunge, astfel, la descoperiri fascinante, de o importanță deosebită în aritmetică.

Numărul natural 2 este prim, adică nu se poate scrie ca un produs de două numere naturale diferite de 1 și el însuși (deci scrierea 2 = 1 × 2 nu este permisă). Dar, cu întregi ai lui Gauss, se poate scrie 2 = (1 + i) × (1 – i), unde i se numește unitate imaginară și are proprietatea că i × i = i² = -1. La fel și 5 sau 13, care nu se pot descompune cu numere naturale, dar, cu întregi ai lui Gauss, se poate scrie 5 = (2 + i) × (2 – i), respectiv 13 = (2 + 3i) × (2 – 3i). Concluzia este că o proprietate cunoscută a numerelor naturale — primalitatea — se poate reinterpreta atunci când apar numere de alt tip, ca întregii lui Gauss.

Secolele XVII-XIX au adus o modernizare totală, o adevărată reinterpretare a teoriei numerelor. Două dintre cele mai celebre probleme ale matematicii — Marea Teoremă a lui Fermat și Ipoteza lui Riemann — au stimulat cercetări extrem de ingenioase și, practic, înființarea aritmeticii moderne. Aceasta nu mai era izolată de restul disciplinelor matematicii, căci, prin legături precum cele propuse de Gauss, numerele complexe, geometria sau analiza matematică au contribuit la apariția unor teorii fascinante. Printre ele, geometria aritmetică.

Teoria Arakelov

Asemenea lui Nicușor Dan, ex-sovieticul Suren Arakelov a fost matematician și activist. El a intrat în vizorul regimului sovietic printr-un protest în Piața Roșie din Moscova, unde a purtat două pancarte cu mesajul „Libertate pentru Alexandr Soljenițîn!“, pentru care a fost arestat în 1974.

Arakelov, născut în 1947 în Harkov, Ucraina de astăzi, are origini armene și este considerat de mulți un matematician strălucit, pentru că la douăzeci și șapte de ani a introdus o nouă teorie în geometria aritmetică, teorie care astăzi îi poartă numele.

În esență, metodele sofisticate din geometria aritmetică și derivatele sale, precum teoria Arakelov, folosesc extinderi ale numerelor naturale, pentru a putea lucra cu unelte mai puternice, disponibile doar pentru alte numere, cum sunt cele complexe. Apoi, rezultatele se particularizează înapoi și devin relevante din nou pentru aritmetică.

Scânteia de geniu a lui Arakelov avea să se stingă chiar după descoperirea teoriilor sale, căci, considerat indezirabil de regim prin protestele pro-Soljenițîn, a evitat închisoarea doar prin internarea forțată într-un spital de psihiatrie. Colegii și profesorii care l-au vizitat de atunci, printre care marele geometru Igor Șafarevici și Mihail Zelikin, autorul cărții de memorii Istoria vieții perene, au relatat că Arakelov își pierduse dorința de a face matematică. După externare, Arakelov nu a mai activat deloc în matematică, iar ultimele informații despre soarta lui sunt din 2014, când apare ca un locuitor obișnuit al Moscovei.

Teoria lui Arakelov a avut ecouri impresionante în întreaga matematică. În 1986, germanul Gerd Faltings primește Medalia Fields, cea mai înaltă distincție din matematică, pentru demonstrația conjecturii lui Mordell, formulată în 1922. Faltings a folosit o variantă extinsă a teoriei lui Arakelov, iar la doar doi ani distanță, americanul Paul Vojta vine cu o altă demonstrație pentru același rezultat, arătând strânsa legătură între teoria Arakelov și geometria diofantică, o ramură a geometriei aritmetice.

O altă generalizare a teoriei Arakelov este formulată în 1992, prin francezii Henri Gillet și Christophe Soulé. Cu ajutorul ei, cei doi francezi demonstrează un rezultat cu o vechime de câteva decenii: teorema aritmetică Riemann-Roch.

Soulé și-a transmis pasiunea pentru aritmetică, geometrie și teoria lui Arakelov către studenții săi de la Universitatea Sorbonne Paris Nord, printre care și Nicușor Dan. Toți cei șase doctoranzi ai francezului au susținut disertații pe astfel de teme. Dintre ei, Dan a obținut titlul de doctor în 1998, cu lucrarea „Curenți Green și prelungire meromorfă”, o teză de 78 de pagini, publicată în original în franceză.//„Courants de Green et prolongement méromorphe”, sudoc.abes.fr // 

Geometria Arakelov și rezultatele conexe au fost preocuparea centrală în cariera de cercetător a lui Dan. Înainte de susținerea doctoratului, în 1997, el a publicat un articol într-o revistă academică franceză (Comptes Rendus de l’Académie de Sciences) în care demonstrează rezultate preliminarii pe care avea să le dezvolte în teză. Apoi, ideile noi din lucrarea de doctorat le-a publicat sub forma altor două articole de cercetare: unul într-o revistă poloneză,// „Fonctions zêta d’Igusa et fonctions hypergéométriques”, geodesic-test.matdoc.fr // în 1999 și cel de-al doilea, mai substanțial, în 2002. Acesta din urmă a apărut// „Prolongement méromorphe des courants de Green”, link.springer.com // în revista Mathematische Annalen, aflată în primul eșalon valoric (Q1) al ierarhiei din întregul domeniu „matematică“.

Profilul academic al lui Nicușor Dan de pe Google Scholar// Vezi pe scholar.google.com // mai menționează două publicații pe arXiv,// Vezi pe arxiv.org // ambele din septembrie 2008. Site-ul găzduiește articole de cercetare în format preprint, care sunt ulterior trimise spre publicare unor reviste de specialitate. Din căutările mele, nu am găsit niciunul dintre cele două într-o bază de date indexată BDI (Baze de Date Internaționale) sau ISI (International Scientific Indexing), deci este posibil ca rezultatele să fi rămas în stadiul de preprint. Acesta poate fi și motivul pentru care ele nu apar în CV-ul lui de pe site-ul IMAR.

Educația și Președintele

Luate în contextul studiilor sale, cercetările matematicianului Nicușor Dan sunt o continuare previzibilă a rezultatelor excelente de la Olimpiada Internațională de Matematică. Mai surprinzător este că din 19 mai 2025, Nicușor Dan se alătură unui grup nu foarte numeros de matematicieni profesioniști aleși în funcții politice dintre cele mai înalte.

Istoria nu mai menționează un alt șef de stat cu pregătire, dar și experiență profesională de matematician, cu excepția lui Faustin-Archange Touadéra, fost prim-ministru și actual președinte al Republicii Central Africane, din 2016. Acesta a obținut un dublu doctorat în matematică, în Franța și Camerun, și a fost profesor universitar, prodecan și apoi rector la Universitatea din Bangui, Republica Central Africană.

Robert Prevost, actualul Papă Leon al XIV-lea, este un alt nume care a stârnit interesul pentru matematicienii ajunși lideri, însă americanul nu a profesat în matematică. El a absolvit Universitatea Villanova, o facultate cu orientare augustiniană, cu diploma de licențiat în matematică în 1977. Imediat după absolvire, a continuat cu un master, profesii și misiuni teologice. Biografia sa menționează că a predat matematică și fizică la un liceu din Chicago în timpul studiilor, probabil doar pentru a se întreține.

Președintele Nicușor Dan spunea adesea că, pentru a înțelege și aprecia un om care candidează pentru o funcție publică, trebuie analizat trecutul său, ce a realizat până în momentul candidaturii. În contextul politicii și administrației, atât la nivel local, cât mai ales național, rezultatele olimpice și academice din matematică nu pot cântări prea mult. 

Totuși, studiile superioare finalizate la cel mai înalt nivel contribuie măcar ca exemplu personal și argument al preocupării pentru educație și cercetare de excelență. În fruntea tinerei democrații românești, o astfel de pregătire intelectuală nu a mai fost reprezentată decât de Președintele Emil Constantinescu. Pentru o țară aflată pe penultimul loc la bugetul educației ca procent din PIB,// Conform Eurostat 2023, eurostat.eu // alegerile din 2025 sunt un exemplu și o speranță.